MoriKen's Journal

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アラサー社会人博士による徒然日記。技術についてつらつら。だけだとコンテンツが貧弱なので、会社公認で大学院博士課程に進学した経緯や、独学でTOEICを475→910にしたノウハウを共有します。最近アメリカ MBA(経営学)大学院もはじめました。

log x の微分が 1/x になる理由のメモ

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部屋を掃除していると、色々なメモが出てくる。

浅学の私は時々、高校レベルの数学の公式の導出をふと思い返すことがあるのだが、どうもその時のメモが出てきた。いつ書いたのかも定かではないが、机の掃除中に出てくるということはここ1年以内に書かれたものであるはずだ(どんだけ放置してるんだ笑)。

f:id:MoriKen254:20190425120400j:plain
ひどく汚い字だ笑。


どうやら、

(\log x)'  = \dfrac{1}{x}
がなぜ成立するのか、気になったらしい。

こんな簡単な数式も脳内で思い浮かべられない小生。気になると居ても立ってもいられなくなり、殴り書きをするときがある。

このまま捨てるのもあれなので(←捨てろよ)、はてなブログかつMarkdown記法で、Latexの数式を書く練習と思い(←どんな言い訳だ)、書き写してみた。

数式展開のメモ

微分の定義


\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \frac{d}{dx} f(x) \\
&=& \lim_{h \to 0} \dfrac {f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{\left( x+h\right) -x} \\
&=& \lim_{h \to 0} \dfrac {f\left( x+h\right) -f\left( x\right) }{h}
\end{eqnarray}

log x を適用

f(x) = \log x を代入する。

\begin{eqnarray}
(\log x)' &=& \lim_{h \to 0} \dfrac {\log\left( x+h\right) - \log\left( x\right) }{h} \\
&=& \lim_{h \to 0} \dfrac {1}{h} \log \dfrac{\left( x+h\right)}{x} \\
&=& \lim_{h \to 0} \dfrac {1}{h} \log (1 + \dfrac{h}{x})
\end{eqnarray}

\dfrac{h}{x} = t とする。\dfrac{x}{h} = \dfrac{1}{t} かつ \dfrac{1}{h} = \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{1}{t} を代入する。

\begin{eqnarray}
(\log x)' &=& \lim_{t \to 0} \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{1}{t} \log (1 + t) \\
&=& \dfrac{1}{x} \lim_{t \to 0} \log (1 + t)^t
\end{eqnarray}

ネイピア数を導入

{ \displaystyle
\lim_{t \to 0}  (1 + t)^t = e
} を代入する。

\begin{eqnarray}
(\log x)'  &=& \dfrac{1}{x}
\end{eqnarray}

おわりに

何でハマったかって、はてなブログ+Markdown記法だと、一部のLatex記述が無効化されるっていうこと(アンパサンドとか全部無効になったり)。気になるところはいっぱいあるけど、参考文献をもとに表示させた。

あー、まぁとにかくすっきりした。このメモも捨てよう。

参考文献